Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych

Równania różniczkowe cząstkowe służą jako modele dla opisu szeregu zjawisk począwszy od fizyki i techniki, poprzez nauki przyrodnicze, ekonomię, medycynę aż do nauk humanistycznych. I tak na przykład są one podstawowym narzędziem do opisu zagadnień mechaniki, elektrotechniki, hydromechaniki, akustyki czy fizyki kwantowej.
W niniejszym module podamy przykłady opisu takich zjawisk, mianowicie drgań struny, drgań elektrycznych w przewodniku, przewodnictwa ciepła oraz przepływu cieczy lub gazu. Należy podkreślić, że w literaturze nietrudno znależć wyprowadzenia bardziej precyzyjne. Ponieważ naszym celem jest elementarne wprowadzenie do teorii równań różniczkowych, ograniczymy się do rozważań bardzo uproszczonych.

1. Równanie struny

Przez strunę rozumiemy jednorodną elastyczną nić o stałym przekroju. Zakładamy, że struna jest zamocowana na osi \( \hskip 0.3pc 0x \hskip 0.3pc \)
w punktach \( \hskip 0.3pc 0 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc l \hskip 0.3pc \) i pod działaniem sił naprężenia jest skierowana wzdłuż osi \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \)
Przyjmujemy przy tym, że siła naprężenia w każdym punkcie struny jest stała.
Jeśli pod działaniem siły zewnętrznej struna zostanie wyprowadzona z położenia równowagi, to pod wpływem sił naprężenia zacznie drgać. W naszych rozważaniach przyjmujemy, że struna przesuwa się w jednej płaszczyżnie, a punkty struny poruszają się jedynie w kierunku prostopadłym do osi \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \)
Odchylenie \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) punktu drgającej struny jest szukaną funkcją dwóch zmiennych niezależnych, współrzędnej \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) oraz czasu \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) czyli \( \hskip 0.3pc u =u(x,t). \hskip 0.3pc \)
Oczywiście, siła naprężenia \( \hskip 0.3pc T \hskip 0.3pc \) jest w każdym punkcie styczna do struny, a ruch struny jest wymuszony jej składową na oś \( \hskip 0.3pc 0u \hskip 0.3pc \) (zobacz Rys. 1 ).
Przyjmujemy, że wartość siły naprężenia struny jest stała, ponadto rozważamy tylko takie drgania, dla których amplituda jest mała w stosunku do długości struny.
Oznaczmy przez \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc x+\Delta x \hskip 0.3pc \) rzut punktów \( \hskip 0.3pc M_1 \hskip 0.3pc \) i \( \hskip 0.3pc M_2 \hskip 0.3pc \) na oś \( \hskip 0.3pc 0x, \hskip 0.3pc \) a przez \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \varphi +\Delta \varphi \hskip 0.3pc \) kąt między kierunkiem działania siły naprężenia \( \hskip 0.3pc T \hskip 0.3pc \) w punktach \( \hskip 0.3pc M_1 \hskip 0.3pc \)i \( \hskip 0.3pc M_2\hskip 0.3pc \) a osią \( \hskip 0.3pc 0x. \hskip 0.3pc \)
Zauważmy, że przyrost siły działającej w kierunku osi \( \hskip 0.3pc 0u \hskip 0.3pc \) na element struny \( \hskip 0.3pc M_1M_2 \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem:

(1)

\( \begin{aligned} T\sin ( \varphi + \Delta \varphi)-T\sin \varphi\,\,& \cong\,\, T\big({\rm tg}( \varphi +\Delta \varphi )- {\rm tg} \varphi\big)\,=\, T \Big( \dfrac{\partial u(x+\Delta x,\,t)}{\partial x}- \dfrac{\partial u (x,\,t)}{\partial x}\Big)=\\&= T\dfrac{\partial^2 u (x+\theta\Delta x,\,t)}{\partial^2 x} \Delta x, \end{aligned} \)

dla pewnego \( \hskip 0.3pc \theta \in [0,1] \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \Delta x =x_2-x_1.\hskip 0.3pc \)
(Ponieważ założyliśmy, że \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \) jest małe, wartość \( \hskip 0.3pc \sin \varphi \hskip 0.3pc \) zastąpiliśmy wartością \( \hskip 0.3pc {\rm tg} \varphi,\hskip 0.3pc \) która - jak wiadomo - jest równa wartości pochodnej funkcji \( \hskip 0.3pc u, \hskip 0.3pc \) a następnie wykorzystaliśmy twierdzenie o wartości średniej).
Z drugiej strony, korzystając z zasady Newtona, siłę działającą w kierunku osi \( \hskip 0.3pc u \hskip 0.3pc \) na element \( \hskip 0.3pc M_1M_2 \hskip 0.3pc \) możemy wyrazić wzorem:

(2)

\( \rho \Delta x \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość liniową struny.

Rysunek 1: rys1

Porównując ( 1 ) i ( 2 ) otrzymamy

\( T\Delta x \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2} \,\,=\,\,\rho \Delta x \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} , \)

czyli

(3)

\( \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} =a^2 \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}, \)

gdzie współczynnik \( \hskip 0.3pc a =\sqrt{T/\rho} \hskip 0.3pc \) opisuje prędkość rozchodzenia się drgań prostopadłych. Jest to równanie typu hiperbolicznego.
Zauważmy, że w opisanym modelu spełnione są następujące warunki brzegowe

(4)

\( u(0,t)=0,\quad u(l,t)=0 \qquad {\rm dla} \quad t \in \mathbb{R}_+, \)

zaś wyprowadzenie struny z polożenia równowagi zadane jest warunkami początkowymi

(5)

\( u(x,0)= \varphi,\quad u_t(x,0)=\psi (x) \qquad {\rm dla} \quad x\in [0,l], \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \varphi \hskip 0.3pc \)i \( \hskip 0.3pc \psi \hskip 0.3pc \)są zadanymi funkcjami, przy czym \( \hskip 0.3pc \varphi (0)= \varphi (l)=\psi (0)=\psi (l)=0. \hskip 0.3pc \)
Jeśli założymy ponadto, że na strunę działa siła zewnętrzna \( \hskip 0.3pc F \hskip 0.3pc \) to nietrudno sprawdzić, że drgania struny opisane są równaniem

(6)

\( \dfrac{\partial^2u}{\partial t^2} =a^2 \dfrac{\partial^2u}{\partial x^2}+f(x,t), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc f(x,t)=F(x,t)/T. \hskip 0.3pc \)

2. Drgania elektryczne w przewodnikach

Przypomnijmy, że prąd przepływający w przewodniku scharakteryzowany jest przez natężenie \( \hskip 0.3pc i=i(x,t) \hskip 0.3pc \) oraz napięcie \( \hskip 0.3pc u=u(x,t) \hskip 0.3pc \) gdzie \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) oznacza odległość liniową od początku linii, a \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) czas.
Ponadto, jak zwykle niech \( \hskip 0.3pc R \hskip 0.3pc \) oznacza gęstość liniową oporności przewodnika, \( \hskip 0.3pc C \hskip 0.3pc \) gęstość liniową pojemności, \( \hskip 0.3pcL \hskip 0.3pc \) - gęstość liniową indukcji, a \( \hskip 0.3pc G \hskip 0.3pc \)- gęstość liniową upływności (współczynnik izolacji).
Spadek potencjału przewodnika od punktu \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) do punktu \( \hskip 0.3pc x+\Delta x, \hskip 0.3pc \) czyli

\( u(x,\,t)-u(x+\Delta x,\,t) = -\dfrac{\partial u}{\partial x}(x+ \theta \Delta x,\,t) \Delta x , \)

jest spowodowany przez:

\( \hskip 0.3pc i R \Delta x \hskip 0.3pc \)- spadek napięcia wywołany oporem,

\( \hskip 0.3pc L \dfrac{\partial i}{\partial t} \Delta x \hskip 0.3pc \)- siłę elektromagnetyczną samoindukcji.

Zatem

\( i R \Delta x +L \dfrac{\partial i}{\partial t} \Delta x = -\dfrac{\partial u}{\partial x}\Delta x. \)

Stąd

(7)

\( \dfrac{\partial u}{\partial x}+ L \dfrac{\partial i}{\partial t}+i R=0. \)

Podobnie, spadek natężenia na odcinku od punktu \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) do punktu \( \hskip 0.3pc x+\Delta x, \hskip 0.3pc \) w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) czyli

\( \big(i(x,\,t)-i(x+\Delta x,\,t)\big) \Delta t = -\dfrac{\partial i}{\partial x} (x+ \tilde{\theta} \Delta x,\,t)\Delta x \Delta t, \)

jest równy sumie:

\( \hskip 0.3pc C \dfrac{\partial u}{\partial t} \Delta x \Delta t \hskip 0.3pc \)- prądu przepływającego przez rozważany odcinek,

\( \hskip 0.3pc G u\Delta x \Delta t \hskip 0.3pc \)- strat prądu.

Zatem

\( C \dfrac{\partial u}{\partial t}\Delta x \Delta t +G u \Delta x \Delta t=-\dfrac{\partial i}{\partial t} \Delta x \Delta t. \)

Stąd

(8)

\( \dfrac{\partial i}{\partial x}+C\dfrac{\partial u}{\partial t} + G u=0. \)

Zespół równań ( 7 ), ( 8 ) nazywamy równaniami linii elektrycznej.
Różniczkując równanie ( 7 ) względem \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \) a równanie ( 8 ) względem \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) otrzymamy

(9)

\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ L \dfrac{\partial^2 i}{\partial x\partial t}+R \dfrac{\partial i}{\partial x}=0, \)

(10)

\( \dfrac{\partial^2 i}{\partial t\partial x}+C \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} + G\dfrac{\partial u}{\partial t} =0. \)

Jeśli przyjmiemy \( \hskip 0.3pc R \cong 0, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc G \cong 0, \hskip 0.3pc \) tzn. założymy, że linia jest bez samoindukcji i bez upływnienia, to eliminując z uzyskanego układu równań pochodną mieszaną, otrzymamy

\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - L C \dfrac{\partial^2 u}{\partial t ^2} =0, \)

lub

(11)

\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} =a^2 \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} , \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a =1/\sqrt{LC}. \hskip 0.3pc \) Otrzymaliśmy zatem ponownie równanie postaci ( 3 ).

3. Równanie przewodnictwa cieplnego w pręcie

Rozważmy zagadnienie rozchodzenia się ciepła w pręcie jednorodnym. Niech \( \hskip 0.3pc u =u(x,t) \hskip 0.3pc \) oznacza temperaturę w chwili \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) w punkcie \( \hskip 0.3pc x. \hskip 0.3pc \) Ilość ciepła przechodząca przez sekcję pręta w punkcie \( \hskip 0.3pc x \hskip 0.3pc \)w przedziale czasowym \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) wynosi

\( Q=k \dfrac{\partial u}{\partial x} S \Delta t, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego a \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) powierzchnią przekroju pręta.
Jeśli \( \hskip 0.3pc Q_1 \hskip 0.3pc \) oznacza ilość ciepła przepływająca przez sekcję pręta w punkcie \( \hskip 0.3pc x=x_1 \hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc Q_2\hskip 0.3pc \) przez sekcję w punkcie \( \hskip 0.3pc x=x_2, \hskip 0.3pc \) czyli

\( Q_1=k \dfrac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=x_1} S\Delta t, \qquad Q_2=k \dfrac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=x_2} S\Delta t, \)

(12)

\( \begin{aligned}\Delta Q=& Q_2-Q_1= k S \Delta t \Big(\dfrac{\partial u}{\partial x}(x_2,t)-\dfrac{\partial u}{\partial x}(x_1,t)\Big)=\\&k S \Delta t \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\big(x_1+\theta (x_2-x_1),t\big)\Delta x \cong k S \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}\big(x_1, t\big)\Delta x \Delta t, \end{aligned} \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \theta \in [0,1], \hskip 0.3pc \) oraz \( \hskip 0.3pc \Delta x =x_2-x_1. \hskip 0.3pc \)
Ciepło \( \hskip 0.3pc \Delta Q \hskip 0.3pc \) powoduje zmianę temperatury odcinka \( \hskip 0.3pc [x_1,x_2]\hskip 0.3pc \) o wielkość \( \hskip 0.3pc \Delta u.\hskip 0.3pc \) Oczywiście

\( \Delta Q =c \rho S\Delta x \Delta u, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \) oznacza ciepło właściwe a \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) gęstość właściwą pręta.
Uwzględniając, że

\( \Delta u=u(x, t+\Delta t)-u(x,t) =\dfrac{\partial u}{\partial t}(x, t+\widetilde{\theta}\Delta t)\Delta t\cong \dfrac{\partial u}{\partial t}(x, t)\Delta t, \)

równanie bilansu cieplnego możemy zapisać w postaci

\( k S \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)\Delta x \Delta t = c\rho S \dfrac{\partial u}{\partial t}(x, t)\Delta x \Delta t. \)

Stąd

\( \dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a^2=k/(c\rho ). \hskip 0.3pc \) Jest to równanie typu parabolicznego.

4. Równanie przewodnictwa cieplnego w bryle

Rozważmy teraz zagadnienie rozchodzenia się ciepła w jednorodnej i izotropowej bryle trójwymiarowej \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) o powierzchni \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \)
Niech \( \hskip 0.3pc u=u(x,y,z,t) \hskip 0.3pc \) oznacza temperaturę w punkcie \( \hskip 0.3pc (x,y,z) \hskip 0.3pc \) w chwili \( \hskip 0.3pc t, \hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) współczynnik przewodnictwa cieplnego, \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza (jednostkowy) wektor normalny do powierzchni \( \hskip 0.3pc S,\hskip 0.3pc \) \( \hskip 0.3pc c \hskip 0.3pc \)ciepło właściwe a \( \hskip 0.3pc \rho \hskip 0.3pc \) gęstość bryły.
Ilość ciepła przepływającego w jednostce czasu przez powierzchnię \( \hskip 0.3pc S, \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

\( \displaystyle\iint\limits_S k\dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}\, dS, \)

a ilość ciepła w bryle \( \hskip 0.3pc V\hskip 0.3pc \) w chwili \( \hskip 0.3pc t\hskip 0.3pc \) wzorem

\( \displaystyle\iint\limits_V c\,\rho\,u(x,y,z,t)\, dxdydz., \)

Ponieważ

\( \dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}= \vec{n} \cdot{\rm grad}\,u, \)

gdzie symbol \( \hskip 0.3pc \cdot \hskip 0.3pc \) znacza iloczyn skalarny, ilość ciepła która przechodzi przez element powierzchni \( \hskip 0.3pc \Delta S \hskip 0.3pc \) w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

\( \Delta Q= k \Delta S \Delta t \, \vec{n} \cdot{\rm grad}\,u . \)

Zatem przez powierzchnie \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t\hskip 0.3pc \) przechodzi natępująca ilość ciepła

\( \Delta Q=\Delta t \displaystyle\iint\limits_ Sk\, \vec{n}\cdot{\rm grad}\,u \,dS. \)

Przepływające ciepło powoduje zmianę temperatury \( \hskip 0.3pc u, \hskip 0.3pc \) przy czym przyrost ciepła bryły \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) wyraża się wzorem

\( \displaystyle\iiint\limits_ Vc \rho u(x,y,z,t+\Delta t) dxdydz - \displaystyle\iiint\limits_ Vc \rho u(x,y,z,t) dxdydz \cong\Delta t \displaystyle\iiint\limits_ Vc \rho \dfrac{\partial u}{\partial t} dxdydz. \)

Równanie bilansu cieplnego ma zatem postać

\( \Delta t \displaystyle\iint\limits_ S k\, \vec{n}\cdot {\rm grad}\,u dS=\Delta t \displaystyle\iiint\limits_ V c \rho \dfrac{\partial u}{\partial t} dxdydz. \)

Po uproszczeniu przez \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) i wykorzystaniu twierdzenia Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2) otrzymamy

\( \displaystyle\iiint\limits_ V {\rm div}\big(k\,{\rm grad}\,u\big) dxdydz= \iiint\limits_V c \rho \dfrac{\partial u}{\partial t} dxdydz, \)

czyli

\( \displaystyle\iiint\limits_ V \Big[{\rm div}\big(k\, {\rm grad}\,u\big)- c \rho \dfrac{\partial u}{\partial t}\Big] dxdydz=0. \)

Ponieważ ostatnia równość zachodzi dla dowolnego obszaru \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) o dostatecznie regularnej powierzchni, zakładając ciagłość wyrażeń podcałkowych otrzymamy

\( {\rm div}\big(k\, {\rm grad}\, u\big)-c \rho \dfrac{\partial u}{\partial t}=0, \)

lub

\( \dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2 {\rm div}\big({\rm grad}\,u\big), \)

gdzie \( \hskip 0.3pc a^2=k/(c \rho). \hskip 0.3pc \)
Ostatecznie otrzymane równanie możemy zapisać w postaci

(13)

\( \dfrac{\partial u}{\partial t}= a^2 \Big( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}\Big), \)

lub, używając symbolu laplasjanu \( \hskip 0.3pc \Delta =\dfrac{\partial^2 }{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 }{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2 }{\partial z^2}, \hskip 0.3pc \) w postaci

\( \dfrac{\partial u}{\partial t}=a^2 \Delta u. \)

Jest to również równanie typu parabolicznego.
Jeśli w rozważanym obszarze znajdują się żródła ciepła opisane funkcją \( \hskip 0.3pc g(x,y,z,t), \hskip 0.3pc \) wówczas można pokazać, że równanie przewodnictwa cieplnego przyjmie postać

\( c \rho \dfrac{\partial u}{\partial t}-{\rm div}\big(k \,{\rm grad}\,u\big)= g(x,y,z,t). \)

Jeśli temperatura nie zmienia się w czasie, równanie przewodnictwa cieplnego ma postać

(14)

\( \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 u}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2 u}{\partial z^2}=0. \)

Równanie ( 14 ) nosi nazwę równania Laplace'a. Jest to równanie typu eliptycznego.
Aby znależć temperaturę ciała, wystarczy znać temperaturę na powierzchni, czyli

\( u(x,y,z)=\varphi (x,y,z) \qquad {\rm dla}\quad (x,y,z) \in S. \)

oraz prędkość przepływu ciepła przez powierzchnię, czyli

\( \dfrac{\partial u}{\partial \vec{n}}(x,y,z)=\psi (x,y,z)\qquad {\rm dla}\quad (x,y,z) \in S, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza wektor normalny do powierzchni. Ponieważ warunki te są zadane na brzegu obszaru, problem ten nazywamy problemem brzegowym a wymienione warunki warunkami brzegowymi.

5. Przepływ cieczy. Równanie ciągłości

Niech \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) będzie zadanym obszarem jednospójnym o regularnej powierzchni \( \hskip 0.3pc S. \hskip 0.3pc \) Załóżmy, że przez obszar \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) przepływa ciecz lub gaz z prędkością \( \hskip 0.3pc \vec{v} =\vec{v}(x,y,z,t). \hskip 0.3pc \)
Przez element powierzchni \( \hskip 0.3pc \Delta S \hskip 0.3pc \) w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) przepływa następująca ilość substancji

\( \Delta Q= \rho\,\vec{n}\cdot \vec{v}\Delta S\Delta t, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc \vec{n} \hskip 0.3pc \) oznacza wektor normalny do powierzchni \( \hskip 0.3pc S, \hskip 0.3pc \) a \( \hskip 0.3pc \rho =\rho(x,y,z,t) \hskip 0.3pc \) gęstość przepływającej substancji w punkcie \( \hskip 0.3pc (x,y,z) \hskip 0.3pc \) i chwili \( \hskip 0.3pc t. \hskip 0.3pc \) Stąd przez powierzchnię \( \hskip 0.3pc S \hskip 0.3pc \) w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) przepłynie następująca ilość substancji

\( \Delta Q=\Delta t \displaystyle\iint\limits_S\rho\,\vec{n}\cdot \vec{v} dS . \)

Z drugiej strony ilość substancji w bryle \( \hskip 0.3pc V \hskip 0.3pc \) w chwili \( \hskip 0.3pc t \hskip 0.3pc \) wynosi

\( Q= \displaystyle\iiint\limits_V\rho dxdydz. \)

Oczywiście zmiana ilości substancji powoduje zmianę jej gęstości, a przyrost substancji w czasie \( \hskip 0.3pc \Delta t \hskip 0.3pc \) spowodowany zmianą gęstości wyraża się wzorem

\( \Delta Q= \displaystyle\iiint\limits_V\rho (x,y,z,t+\Delta t) dxdydz - \displaystyle\iiint\limits_V\rho (x,y,z,t) dxdydz \cong \Delta t \displaystyle\iiint\limits_V\dfrac{\partial \rho}{\partial t}(x,y,z,t)dxdydz. \)

Równanie bilansu ilości substancji ma zatem postać

\( \Delta t \displaystyle\iint\limits_S\rho\, \vec{n}\cdot \vec{v} dS=\Delta t \displaystyle\iiint\limits_V\dfrac{\partial \rho}{\partial t} dxdydz. \)

Wykorzystując twierdzenie Gaussa - Greena (zob. twierdzenie A.2) otrzymamy

\( \displaystyle\iiint\limits_V {\rm div}(\rho v) dxdydz=\iiint\limits_V \dfrac{\partial \rho}{\partial t} dxdydz. \)

Ponieważ wzór ten zachodzi dla dowolnego obszaru regularnego \( \hskip 0.3pc V, \hskip 0.3pc \) więc funkcje podcałkowe są równe, wynika stąd równość

\( \dfrac{\partial \rho}{\partial t}-{\rm div}(\rho v)=0, \)

zwana równaniem ciągłości
Jeśli przyjmimy, że

\( v=\dfrac{k}{\rho} {\rm grad}\,P, \qquad \dfrac{\partial \rho}{\partial t}=\lambda \dfrac{\partial P}{\partial t}, \)

gdzie \( \hskip 0.3pc P \hskip 0.3pc \) oznacza ciśnienie, a \( \hskip 0.3pc \lambda \hskip 0.3pc \) współczynnik przepuszczalności a \( \hskip 0.3pc k \hskip 0.3pc \) pewną stałą, to

\( \lambda \dfrac{\partial P}{\partial t}= {\rm div}\, (k\, {\rm grad}\,P), \)

lub

(15)

\( \dfrac{\partial P}{\partial t}=\dfrac{k}{\lambda} \Big( \dfrac{\partial^2P}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2P}{\partial y^2}+\dfrac{\partial^2P}{\partial z^2}\Big). \)

Jeśli rozważana substancja jest nieściśliwa, wówczas \( \hskip 0.3pc \dfrac{\partial P}{\partial t}=0, \hskip 0.3pc \) a równanie ( 15 ) przyjmie postać

\( {\rm div}\,({\rm grad}\,P)=0, \)

lub

\( \dfrac{\partial^2 P}{\partial x^2} +\dfrac{\partial^2 P}{\partial y^2} +\dfrac{\partial^2 P}{\partial z^2}=0. \)

Ponownie otrzymaliśmy równanie Laplace'a.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Przykłady zagadnień prowadzących do równań różniczkowych cząstkowych